CÁCH TÌM SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH NHANH

1) PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG MODE 7Tổng hợp phương pháp Bước 1: Chuyển PT về dạng Vế trái = 0Bước 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để xét lập bảng giá trị của vế tráiBước 3: Quan sát và đánh giá :+) Nếu $F\left( \alpha \right) = 0$ thì $\alpha $ là 1 nghiệm+) Nếu $F\left( a \right).F\left( b \right) VD1-Số nghiệm của phương trình ${6.4^x} – {12.6^x} + {6.9^x} = 0$ là ;A.

Bạn đang xem: Cách tìm số nghiệm của phương trình nhanh

3B. 1C. 2D. 0

GIẢIKhởi động chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của Casio rồi nhập hàm

*
Ta thấy khi x=0 thì F(0)=0 vậy x=0 là nghiệm. Tiếp tục quan sát bảng giá trị F(X) nhưng không có giá trị nào làm cho F(X)=0 hoặc khoảng nào làm cho F(X) đổi dấu. Điều này có nghĩa x=0 là nghiệm duy nhấtKết luận : Phương trình ban đầu có 1 nghiệm $ \Rightarrow $ Ta chọn đáp án BCách tham khảo : Tự luậnVì ${9^x} > 0$ nên ta có thể chia cả 2 vế cho ${9^x}$Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow 6.\frac{{{4^x}}}{{{9^x}}} – 12.\frac{{{6^x}}}{{{9^x}}} + 6 = 0$$ \Leftrightarrow 6.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x}} – 12.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} + 6 = 0$ (1)Đặt ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}$ là t thì ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x}} = {t^2}$ . Khi đó (1) $ \Leftrightarrow 6{t^2} – 12t + 6 = 0 \Leftrightarrow 6{\left( {t – 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 1$Vậy ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0$Bình luận :Để sử dụng phương pháp Casio mà không bị sót nghiệm ta có thể sử dụng vài thiết lập miền giá trị của X để kiểm tra. Ngoài Start -9 End 10 Step 1 ta có thể thiết lập Start -4 End 5 Start 0.5
*
Ta quan sát bảng giá trị vẫn có 1 nghiệm x=0 duy nhất vậy ta có thể yên tâm hơn về lựa chọn của mình.Theo cách tự luận ta thấy các số hạng đều có dạng bậc 2. Ví dụ ${4^x} = {\left( {{2^x}} \right)^2}$ hoặc ${6^x} = {2^x}{.3^x}$ vậy ta biết đây là phương trình dạng đẳng cấp bậc 2.Dạng phương trình đẳng cấp bậc 2 là phương trình có dạng $m{a^2} + nab + p{b^2} = 0$ ta giaỉ bằng cách chia cho ${b^2}$ rồi đặt ẩn phụ là $\frac{a}{b} = t$

VD2-Số nghiệm của phương trình ${e^{\sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)}} = \tan x$ trên đoạn $\left< {0;2\pi } \right>$ là :A. 1B. 2C. 3D. 4GIẢIChuyển phương trình về dạng : ${e^{\sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)}} – \tan x = 0$Sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start 0 End $2\pi $ Step $\frac{{2\pi – 0}}{{19}}$

*
Quan sát bảng giá trị ta thấy 3 khoảng đổi dấu như trên :$f\left( {0.6613} \right).f\left( {0.992} \right) $f\left( {1.3227} \right).f\left( {1.6634} \right) $f\left( {3.6376} \right).f\left( {3.9683} \right) $f\left( {4.6297} \right).f\left( {4.9604} \right) Kết luận : Phương trình ban đầu có 4 nghiệm $ \Rightarrow $ Ta chọn đáp án DBình luận :Đề bài yêu cầu tìm nghiệm thuộc $\left< {0;2\pi } \right>$ nên Start = 0 và End = $2\pi $Máy tính Casio tính được bảng giá trị gồm 19 giá trị nên bước nhảy Step = $\frac{{2\pi – 0}}{{19}}$

VD3- Phương trình ${\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^{\frac{{3x}}{{x – 1}}}} = {\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)^x}$ có số nghiệm âm là :A. 2 nghiệmB. 3 nghiệmC. 1 nghiệmD. Không cóGIẢIchuyển phương trình về dạng : ${\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^{\frac{{3x}}{{x – 1}}}} – {\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)^x} = 0$Khởi động chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của Casio rồi nhập hàm :

*
Vì đề bài yêu cầu nghiệm âm nên ta hiết lập miền giá trị của X là : Start -9 End 0 Step 0.5
*
Máy tính cho ta bảng giá trị
*
:Ta thấy khi x=-4 thì F (-4) =0 vậy x= -4 là nghiệm.Tiếp tục quan sát bảng giá trị F(X) nhưng không có giá trị nào làm cho F(X)=0 hoặc khoảng nào làm cho F(X) đổi dấu.Điều này có nghĩa x= -4 là nghiệm âm duy nhấtKết luận : Phương trình ban đầu có 1 nghiệm âm $ \Rightarrow $ Ta chọn đáp án CCách tham khảo : Tự luậnLogarit hai vế theo cơ số dương $\sqrt 3 + \sqrt 2 $Phương trình ${\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^{\frac{{3x}}{{x – 1}}}} = {\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)^x}$ $ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^{\frac{{3x}}{{x – 1}}}} = {\log _{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)^x}$$ \Leftrightarrow \frac{{3x}}{{x + 1}} = x{\log _{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)$ $ \Leftrightarrow \frac{{3x}}{{x + 1}} = – x \Leftrightarrow x\left( {\frac{3}{{x + 1}} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x = 0\\x + 1 = – 3 \Leftrightarrow x = – 4\end{array} \right.$x= -4 thỏa điều kiện. Vậy ta có x= -4 là nghiệm âm thỏa phương trìnhBình luận :•Phương trình trên có 2 cơ số khác nhau và số mũ có nhân tử chung. Vậy đây là dấu hiệu của phương pháp Logarit hóa 2 vế•Thực ra phương trình có 2 nghiệm $x = 0;x = – 4$ nhưng đề bài chỉ hỏi nghiệm âm nên ta chỉ chọn nghiệm x=-4 và chọn đáp án C là đáp án chính xác•Vì đề bài hỏi nghiệm âm nên ta thiết lập miền giá trị của x cũng thuộc miền âm (-9;0)

VD4- Số nghiệm của phương trình ${\left( {3 – \sqrt 5 } \right)^x} + 7{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} = {2^{x + 3}}$ là :A. 2B. 0C. 3D. 1GIẢIChuyển phương trình về dạng : ${\left( {3 – \sqrt 5 } \right)^x} + 7{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} – {2^{x + 3}} = 0$Khởi động chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của Casio rồi nhập hàm:

*
Thiết lập miền giá trị của X là : Start -9 End 10 Step 1
*
Máy tính cho ta bảng giá trị:
*
Ta thấy khi x=0 thì F(0)=0 vậy x=0 là nghiệm.Tiếp tục quan sát bảng giá trị F(X)
*
Ta lại thấy $f\left( { – 3} \right).f\left( { – 2} \right) 0$ nên ta có thể chia cả 2 vế cho ${2^x}$Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + 7{\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} – 8 = 0$Đặt ${\left( {\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = t$ $\left( {t > 0} \right)$ thì ${\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = \frac{1}{t}$ . Khi đó (1) $ \Leftrightarrow t + 7.\frac{1}{t} – 8 = 0 \Leftrightarrow {t^2} – 8t + 7 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}t = 1\\t = 7\end{array} \right.$Với $t = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0$Với $t = 7 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = 7 \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}}}7$Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm $x = 0;x = {\log _{\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}}}7$Bình luận :• Nhắc lại một lần nữa nếu $f\left( a \right).f\left( b \right) • Ta nhận thấy 2 đại lượng nghịch đảo quen thuộc $\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$ và $\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}$ nên ta tìm cách để tạo ra 2 đại lượng này bằng cách chia cả 2 vế của phương trình cho ${2^x}$

VD5: Số nghiệm của bất phương trình ${\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{x^2} – 2x + 1}} + {\left( {2 – \sqrt 3 } \right)^{{x^2} – 2x – 1}} = \frac{4}{{2 – \sqrt 3 }}$ (1) là :A. 0B. 2C. 3D. 5GIẢIChuyển bất phương trình (1) về dạng : ${\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{x^2} – 2x + 1}} + {\left( {2 – \sqrt 3 } \right)^{{x^2} – 2x – 1}} – \frac{4}{{2 – \sqrt 3 }} = 0$Nhập vế trái vào máy tính Casio : $F\left( X \right) = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{x^2} – 2x + 1}} + {\left( {2 – \sqrt 3 } \right)^{{x^2} – 2x – 1}} – \frac{4}{{2 – \sqrt 3 }}$(2+s3$)^Q)dp2Q)+1$+(2ps3$)^Q)dp2Q)p1$pa4R2ps3$$Thiết lập miền giá trị cho x với Start -9 End 9 Step 1

*
Máy tính Casio cho ta bảng giá trị:
*
Ta thấy $f\left( { – 1} \right).f\left( 0 \right)
*
Ta thấy f(1)=0 vậy x=1 là nghiệm của phương trình (1)
*
Lại thấy $f\left( 2 \right).f\left( 3 \right) Kết luận : Phương trình (1) có 3 nghiệm $ \Rightarrow $ Chọn đáp án C

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1- Số nghiệm của phương trình $\log {\left( {x – 1} \right)^2} = \sqrt 2 $ là :A. 2B. 1C. 0D. Một số khácBài 2-Số nghiệm của phương trình $\left( {x – 2} \right)\left< {{{\log }_{0.5}}\left( {{x^2} – 5x + 6} \right) + 1} \right> = 0$ là :A. 1B. 3C. 0D. 2Bài 3- Phương trình ${3^{{x^2} – 2x – 3}} + {3^{{x^2} – 3x + 2}} = {3^{2{x^2} – 5x – 1}} + 1$A. Có ba nghiệm thực phân biệt B. Vô nghiệmC. Có hai nghiệm thực phân biệt D. Có bốn nghiệm thực phân biệtBài 4- Tìm số nghiệm của phương trình ${2^{\frac{1}{x}}} + {2^{\sqrt x }} = 3$ :A.B. 2C. Vô sốD. Không có nghiệmBài 5-Cho phương trình $2{\log _2}x + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {1 – \sqrt x } \right) = \frac{1}{2}{\log _{\sqrt 2 }}\left( {x – 2\sqrt x + 2} \right)$. Số nghiệm của phương trình là ;A.

Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Nấu Cơm Tưởng Kỳ Lạ Nhưng Ngon Không Gì Sánh Bằng

2 nghiệmB. Vô số nghiệmC. 1 nghiệmD. Vô nghiệmBài 6-Tìm số nghiệm của phương trình $\log {\left( {x – 2} \right)^2} = 2\log x + {\log _{\sqrt {10} }}\left( {x + 4} \right)$A. 3B. 2C. 0D. 1BÀI TẬP TỰ LUYỆNBài 1- Số nghiệm của phương trình $\log {\left( {x – 1} \right)^2} = \sqrt 2 $ làA. 2B. 1C. 0D. Một số khácGIẢIPhương trình $ \Leftrightarrow \log {\left( {x – 1} \right)^2} – \sqrt 2 = 0$ . Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm số nghiệm với Start -9 End 10 Step 1
*
Ta thấy có hai khoảng đổi dấu $ \Rightarrow $ Phương trình ban đầu có 2 nghiệm$ \Rightarrow $ A là đáp án chính xácChú ý : Để tránh bỏ sót nghiệm ta thường thử thêm 1 hoặc 2 lần nữa với hai khoảng Start End khác nhau Ví dụ Start -29 End -10 Step 1 hoặc Sart 11 End 30 Step 1. Ta thấy không có khoảng đổi dấu nào nữa$ \Rightarrow $ Chắc ăn hơn với 2 nghiệm tìm được

Bài 2-Số nghiệm của phương trình $\left( {x – 2} \right)\left< {{{\log }_{0.5}}\left( {{x^2} – 5x + 6} \right) + 1} \right> = 0$ là :A. 1B. 3C. 0D. 2GIẢITìm điều kiện của phương trình : ${x^2} – 5x + 6 > 0$ $ \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x > 3\\x \end{array} \right.$

*
Phương trình $\left( {x – 2} \right)\left< {{{\log }_{0.5}}\left( {{x^2} – 5x + 6} \right) + 1} \right> = 0$ . Vì điều kiện chia hai khoảng nên ta MODE 7 hai lần. Lần thứ nhất với Start -7 End 2 Step 0.5
*
Ta thấy có 1 nghiệm x=1Lần thứ hai với Start 3 End 12 Start 0.5
*
Ta lại thấy có nghiệm x=4 $ \Rightarrow $ Phương trình có 2 nghiệm 1 và 4 . $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là D

Bài 3- Phương trình ${3^{{x^2} – 2x – 3}} + {3^{{x^2} – 3x + 2}} = {3^{2{x^2} – 5x – 1}} + 1$A. Có ba nghiệm thực phân biệt B. Vô nghiệmC. Có hai nghiệm thực phân biệt D. Có bốn nghiệm thực phân biệtGIẢIPhương trình $ \Leftrightarrow {3^{{x^2} – 2x – 3}} + {3^{{x^2} – 3x + 2}} – {3^{2{x^2} – 5x – 1}} – 1 = 0$ . Sử dụng MODE 7 với Start -9 End 0 Step 0.5

*
Ta thấy có 1 nghiệm x=-1Tiếp tục MODE 7 với Start 0 End 9 Step 0.5Ta lại thấy có thêm ba nghiệm x=1;2;3 $ \Rightarrow $ Tổng cộng 4 nghiệm $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là D

Bài 4- Tìm số nghiệm của phương trình ${2^{\frac{1}{x}}} + {2^{\sqrt x }} = 3$ :A. 1B. 2C. Vô sốD. Không có nghiệmGIẢIPhương trình $ \Leftrightarrow {2^{\frac{1}{x}}} + {2^{\sqrt x }} – 3 = 0$ (điều kiện $x \ge 0$). Sử dụng MODE 7 với Start 0 End 4.5 Step 0.25

*
Trên đoạn $\left< {0;4.5} \right>$ không có nghiệm nàoTiếp tục MODE 7 với Start $4.5$ End 9 Step 0.25
*
Dự đoán phương trình vô nghiệm. Để chắn ăn hơn ta thử lần cuối với Start 9 End 28 Step 1
*
Giá trị của F(X) luôn tăng đến $ + \propto $ $ \Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là DBài 5-Cho phương trình $2{\log _2}x + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {1 – \sqrt x } \right) = \frac{1}{2}{\log _{\sqrt 2 }}\left( {x – 2\sqrt x + 2} \right)$. Số nghiệm của phương trình là ;A. 2 nghiệmB. Vô số nghiệmC. 1 nghiệmD. Vô nghiệmGIẢIPhương trình $ \Leftrightarrow 2{\log _2}x + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {1 – \sqrt x } \right) – \frac{1}{2}{\log _{\sqrt 2 }}\left( {x – 2\sqrt x + 2} \right) = 0$ (điều kiện $0 \le x \le 1$). Sử dụng MODE 7 với Start 0 End 1 Step 0.1
*
Ta thấy có 1 nghiệm duy nhất thuộc khoảng $\left( {0.6;0.7} \right)$ $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là CBài 6-Tìm số nghiệm của phương trình $\log {\left( {x – 2} \right)^2} = 2\log x + {\log _{\sqrt {10} }}\left( {x + 4} \right)$A. 3B. 2C. 0D. 1GIẢIPhương trình $ \Leftrightarrow \log {\left( {x – 2} \right)^2} – 2\log x – {\log _{\sqrt {10} }}\left( {x + 4} \right) = 0$ (điều kiện $x \ge 0$). Sử dụng MODE 7 với Start 0 End 4.5 Step 0.25
*
Trên đoạn $\left< {0;4.5} \right>$ có 1 nghiệmTiếp tục MODE 7 với Start 4.5 End 9 Step 0.25
*
Trên khoảng này không thu được nghiệm nào. Để chắn ăn hơn ta thử lần cuối với Start 9 End 28 Step 1
*
Cũng không thu được nghiệm $ \Rightarrow $ Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là C.