Cách tính hạng của ma trận

Bài viết này autocadtfesvb.com ra mắt đến các bạn đọc lý thuyết và hạng của ma trận kèm các ví dụ và phân loại những dạng toán từ cơ bạn dạng đến nâng cao về hạng của ma trận:

*

1. Tìm kiếm hạng của ma trận mang đến trước

Ví dụ 1: Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1\ 2& - 1&3&1&3\ 3&2&0& - 1&2\ 2&3& - 4&0& - 2 endarray ight).$

*

Ví dụ 2: Cho $x,y,z$ là ba nghiệm của phương trình $t^3-2019t+4=0,$ search hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c x&y&z\ y&z&x\ z&x&y endarray ight).$

Giải. Theo vi – ét bao gồm $x+y+z=0,xy+yz+zx=0,xyz=-4$ với

Do kia $r(A)le 2.$ mặt khác $D_12^12=xz-y^2Rightarrow yD_12^12=xyz-y^3=-4-y^3=-2019yRightarrow D_12^12=-2019 e 0.$

Vậy $r(A)ge 2Rightarrow r(A)=2.$

Ví dụ 9: Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 1&7&6&9\ 0&10&1&10 endarray ight)$ bằng cách thức định thức bao quanh.

Bạn đang xem: Cách tính hạng của ma trận

Giải. Có $D_12^12 = left| eginarray*20c 1&2\ - 1&3 endarray ight| = 5 e 0;D_123^123 = left| eginarray*20c 1&2&3\ - 1&3&0\ 2&4&1 endarray ight| = - 25 e 0;$

Kiểm tra những định thức cấp 4 bảo phủ định thức $D_123^123$ có

$D_1234^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 1&7&6&9 endarray ight| = 0;D_1235^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 0&10&1&10 endarray ight| = 0.$

Vậy $r(A)=3.$

Ví dụ 10: Tìm hạng của ma trận

Giải.

Ta xét các định thức cấp cho 5 phủ bọc định thức cấp cho 4 trên

Vậy $r(A)=4.$

2. Biện luận hạng của ma trận theo tham số

Ví dụ 1: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1& - 1\ 2&m + 4& - 2& - 1\ 3&m + 6& - 3&m - 3 endarray ight)$có hạng nhỏ dại nhất.

*

Ví dụ 2: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c m&2& - 1&3\ 2&m&1&2\ 3&1&2&0 endarray ight)$có hạng nhỏ dại nhất.

*

Ví dụ 3: Tìm $a$ để hạng của ma trận sau bé dại nhất, với $A = left( eginarray*20c 3&1&4&1\ a&2&3&1\ 3& - 1&1&0\ 3&3&7&2 endarray ight).$

*

Ví dụ 4: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ m&1&2& - 1\ 3&1& - 4&2 endarray ight).$ minh chứng rằng với tất cả $m$ thì $r(A)=3.$

Giải. Có $D_123^234 = left| eginarray*20c 2&3&4\ 1&2& - 1\ 1&4&2 endarray ight| = 15 e 0 Rightarrow r(A) = 3,forall m.$

Ví dụ 5: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2&3&1&2\ - 1&2&3&4\ - 1&9&10&m endarray ight).$

*

Ví dụ 6: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&m& - 1&2\ 2& - 1&m&5\ 1&10& - 6&1 endarray ight).$

*

Ví dụ 7: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 2&1&m&3\ - 1&2&1&4\ 4&3&2&1\ - 3&4&1&2 endarray ight).$

Ví dụ 8: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 7 - m& - 12&6\ 10& - 19 - m&10\ 12& - 24&13 - m endarray ight).$

Ví dụ 9: Tìm hạng của ma trận sau

$A = left( eginarray*20c 1&2&...&n - 1&n\ n + 1&n + 2&...&n + n - 1&2n\ ...&...&...&...&...\ n^2 - 2n + 1&n^2 - 2n + 2&...&n^2 - 2n + n - 1&n^2 - n\ n^2 - n + 1&n^2 - n + 2&...&n^2 - n + n - 1&n^2 endarray ight).$

Ví dụ 10: Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1& - 1&2&3\ - 1&1&3& - 1\ 1& - 1&7&m endarray ight)$ nhỏ nhất.

Ví dụ 11: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight).$

Giải.

$eginarrayl det (A) = left| eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight| = left| eginarray*20c m + 6&2&2&2\ m + 6&m&2&2\ m + 6&2&m&2\ m + 6&2&2&m endarray ight|(c_4 + c_3 + c_2 + c_1)\ = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 1&m&2&2\ 1&2&m&2\ 1&2&2&m endarray ight| = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 0&m - 2&0&0\ 0&0&m - 2&0\ 0&0&0&m - 2 endarray ight|eginarray*20c - d1 + d_2\ - d_1 + d_3\ - d_1 + d_4 endarray = (m - 2)^3(m + 6). endarray$

Nếu $det (A) e 0Leftrightarrow m otin left 2,-6 ight\Rightarrow r(A)=4;$Nếu $m=2Rightarrow r(A)=1;$Nếu $m=-6Rightarrow r(A)=3$ (bạn hiểu tự kiểm tra).

Ví dụ 12: Tìm $m$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&m&m + 1\ 2&m + 2&2m + 1&2m + 4\ 1&4 - m&m - 1&2m - 4 endarray ight)$ gồm hạng bằng 2.

Xem thêm: Lý Thuyết: Thông Tin Lưu Trữ Trong Máy Tính Được Gọi Là Gì / A

*

Ví dụ 13: Tìm số thực $a$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c 2&2 - a&4&a^2\ 1&1 - a&2&0\ 3&3 - 2a&8 - a&4 endarray ight)$ gồm hạng bé nhất.

*

Ví dụ 14. Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 3&m&0&3\ m&2&1&2\ 2&1& - 2&2 endarray ight)$ mập nhất.

3. Hạng của ma trận phụ hợp

Định lí. Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n,nge 2$ và $A^*$ là ma trận phụ vừa lòng của $A,$ lúc đó ta có:

$r(A)=nLeftrightarrow r(A^*)=n;$$r(A)=n-1Leftrightarrow r(A^*)=1;$$r(A)le n-2Leftrightarrow r(A^*)=0.$

Chứng minh xem bài giảng tại đây:https://autocadtfesvb.com/khoa-hoc/xem/khoa-pro-s1-mon-toan-cao-cap-1-dai-so-tuyen-tinh-kh836547837.html

4. Dạng toán chứng tỏ về hạng của ma trận

Ta sử dụng các đặc thù về hạng của ma trận sau đây:

$r(A)=r(A");$$r(A+B)le r(A)+r(B)$ với $A,B$ là nhì ma trận thuộc cấp;$r(AB)le r(A);r(AB)le r(B)$ với $A,B$ là nhị ma trận bất kì làm sao để cho $AB$ tồn tại;$r(A)+r(B)le r(AB)+n$ với $A,B$ là hai ma trận vuông cùng cấp.

Ví dụ 1: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ mãn nguyện $A^2=E.$ chứng tỏ rằng $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Giải. Áp dụng bất đẳng thức về hạng của ma trện có:

$eginarrayl r(E - A) + r(E + A) ge r(E - A + E + A) = r(2E) = n\ r(E - A) + r(E + A) le r((E - A)(E + A)) + n = r(E^2 - A^2) + n = r(O) + n = n endarray$

Vậy $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Ví dụ 2: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ gồm $a_ij=0,forall i=j;a_ijin left 1,2019 ight,forall i e j.$ chứng tỏ rằng $r(A)ge n-1.$

Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=1,forall i,j=1,2,..,n$ lúc đó $C=A-B=(a_ij-b_ij)_n imes n=(c_ij)_n imes n$ với

Do đó $det (C)-(-1)^n$ phân chia hết cho 2018, tức $det (C) e 0Rightarrow r(C)=n.$

Mặt không giống $C=A-BRightarrow r(C)=r(A-B)le r(A)+r(-B)=r(A)+1Rightarrow r(A)ge n-1.$

Ví dụ 3: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ gồm $a_ij=i+j,forall i,j=1,2,...,n.$ kiếm tìm hạng của ma trận $A.$

Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=i,forall i=1,2,...,n;C=(c_ij)_n imes n,c_ij=j,forall j=1,2,...,n.$

Ta có $r(B)=r(C)=1$ và $A=B+CRightarrow r(A)=r(B+C)le r(B)+r(C)=2.$

Mặt không giống $D_12^12 = left| eginarray*20c 2&3\ 3&4 endarray ight| = - 1 e 0 Rightarrow r(A) ge 2.$ Vậy $r(A)=2.$

Hiện trên autocadtfesvb.com xuất bản 2 khoá học tập Toán thời thượng 1 với Toán cao cấp 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành kinh tế tài chính của tất cả các trường:

Khoá học cung cấp đầy đủ kỹ năng và kiến thức và cách thức giải bài bác tập những dạng toán đi kèm theo mỗi bài xích học. Khối hệ thống bài tập rèn luyện dạng tự luận bao gồm lời giải cụ thể tại website để giúp đỡ học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Kim chỉ nam của khoá học giúp học viên ăn điểm A thi cuối kì những học phần Toán cao cấp 1 với Toán thời thượng 2 trong các trường tởm tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây rất có thể học được combo này:

- ĐH kinh tế tài chính Quốc Dân

- ĐH ngoại Thương

- ĐH yêu quý Mại

- học viện chuyên nghành Tài Chính

- học viện chuyên nghành ngân hàng

- ĐH tài chính ĐH quốc gia Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH không giống trên mọi cả nước...