Đại số tuyến tính là gì

Đại số tuyến đường tính là một trong những nhánh đặc trưng của toán học. Đại số tuyến đường tính về cơ bản là phân tích về vectơ và các hàm đường tính. Nó là 1 trong khái niệm cốt tử cho phần nhiều các nghành nghề toán học. Đại số đường tính được xem như là một quan niệm cơ phiên bản trong phương pháp trình bày tân tiến của hình học. Nó hầu hết được thực hiện trong thứ lý và Kỹ thuật bởi nó giúp xác minh các đối tượng cơ bạn dạng như mặt phẳng, con đường thẳng và chuyển động quay của đối tượng. Nó đến phép chúng ta mô hình hóa nhiều hiện tượng tự nhiên, và nó cũng có công dụng tính toán. Trong bài bác này, các bạn sẽ tìm phát âm về phần trình làng cơ bản, các thành phần, các bài toán, phương trình tuyến tính và những ứng dụng của nó .

Bạn đang xem: Đại số tuyến tính là gì

Giới thiệu về Đại số tuyến tính

Đại số tuyến tính là nghiên cứu và phân tích của các tổ hợp đường tính. Nó là nghiên cứu về không khí vectơ, mặt đường thẳng cùng mặt phẳng, và một vài ánh xạ được yêu ước để thực hiện các phép đổi khác tuyến tính. Nó bao hàm vectơ, ma trận và các hàm tuyến tính. Nó là nghiên cứu và phân tích của các tập hợp đường tính của phương trình và các tính chất chuyển đổi của nó.

Phương trình đại số tuyến tính

Phương trình con đường tính tổng thể được màn trình diễn dưới dạng

a 1 x 1 + a 2 x 2 ………. + a n x n = b

Đây,

a’s – thay mặt đại diện cho các hệ số

x’s – thay mặt đại diện cho những ẩn số

b – thay mặt đại diện cho hằng số

Tồn trên một hệ phương trình đại số con đường tính, đó là tập hợp các phương trình. Hệ phương trình rất có thể được giải bằng phương pháp sử dụng những ma trận.

Nó tuân thủ theo đúng hàm tuyến tính chẳng hạn như

(x 1 , …… ..x n ) → a 1 x 1 + ………. + a n x n

Chủ đề Đại số đường tính

Các nhà đề quan trọng nhất được nhắc trong đại số đường tính bao gồm:

Không gian vectơ EuclidVectơ riêngMa trận trực giaoCác phép đổi khác tuyến tínhCác phép chiếuGiải hệ phương trình cùng với ma trậnCác phép toán cùng với ma trận (tức là cộng, nhân)Các nghịch đảo của ma trận và các yếu tố quyết địnhMa trận khẳng định dươngPhân rã giá trị đối kháng lẻSự dựa vào tuyến tính và tính độc lập

Ở đây, cha khái niệm đó là tiền đề của đại số tuyến đường tính được lý giải chi tiết. Họ đang:

Không gian vectơHàm tuyến đường tínhMa trận

Tất cả ba khái niệm này còn có mối quan hệ giới tính với nhau sao để cho một hệ phương trình con đường tính có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng những khái niệm này một cách toán học. Nói chung, vectơ là các phần tử mà bạn có thể thêm vào, và các hàm con đường tính là các hàm của vectơ bao hàm việc cộng những vectơ

Không gian vector

Như chúng ta biết rằng đại số con đường tính đề cập đến việc nghiên cứu các không gian vectơ và các phép chuyển đổi tuyến tính thân chúng. Theo quan niệm của vectơ, nó là một đại lượng thiết bị lý tất cả cả độ bự và hướng. Không gian vectơ được định nghĩa là tập phù hợp các đối tượng người sử dụng được gọi là vectơ, rất có thể được cộng lại với nhau với nhân (tức là được phân tách tỷ lệ) với những số, được điện thoại tư vấn là vô hướng. Nói chung, các số thực được xem như là số vô hướng, tuy vậy tồn tại không gian vectơ với phép nhân vô phía với những số không thực, tức là số phức, hoặc từ bỏ nhiên ngẫu nhiên trường nào.

Các phép toán như cộng vectơ và nhân vô hướng phải vừa lòng các yêu cầu thay thể, được gọi là tiên đề vectơ. Nói chung, các thuật ngữ không khí vectơ thực và không gian vectơ phức được sử dụng để có mang rằng những vô hướng lần lượt là số thực hoặc số phức .

Giả sử V là không gian vectơ bất kỳ có các thành phần a, b, c và vô hướng m, n trên một trường F, lúc đó tiên đề vectơ được mang đến bởi:

Giao hoán của phép cộng: a + b = b + aTính links của phép cộng: a + (b + c) = (a + b) + cNhận dạng cộng: a + 0 = 0 + a = a, trong đó 0 là một phần tử trong V được điện thoại tư vấn là vectơ không.Phép cùng nghịch đảo: a + (-a) + (-a) + a = 0, a, -a nằm trong V.

Bốn tiên đề này xác minh rằng không khí vectơ V là 1 trong nhóm abel trong phép cộng.

Các định đề khác bao hàm phân phối của phép nhân vô hướng đối với phép cộng vectơ với phép cùng trường, yếu hèn tố thừa nhận dạng của phép nhân vô hướng, v.v.

Ví dụ, m (a) = ma; n (a + b) = mãng cầu + nb

Một bộ phận của không gian vectơ nỗ lực thể rất có thể có các điểm lưu ý khác nhau. Ví dụ, các bộ phận có thể là 1 dãy, một hàm, một đa thức hoặc một ma trận. Đại số con đường tính bị tác động bởi những tính chất của rất nhiều thứ đó thông dụng hoặc quen thuộc với tất cả các không khí vectơ.

Một ánh xạ tuyến tính rất có thể được viết mang đến hai không khí vectơ nhất quyết là V cùng W bên trên một ngôi trường F. Điều này đôi lúc được call là phép đổi khác tuyến tính hoặc ánh xạ của không gian vectơ. Do đó, nó được giới thiệu bởi:

T: V → W

Điều này đến phép bọn họ viết phép cùng vô hướng của các phần tử như:

T (a + b) = T (a) + T (b)

T (ma) = mT (a)

Hàm đường tính

Hàm tuyến tính là 1 phương trình đại số trong số đó mỗi số hạng là một hằng số hoặc tích của một hằng số cùng một biến hòa bình duy tuyệt nhất của lũy thừa 1. Trong đại số con đường tính, vectơ được lấy trong khi tạo thành các hàm tuyến đường tính. Một số lấy một ví dụ về các loại vectơ hoàn toàn có thể được biểu đạt lại về hàm của vectơ.

Về phương diện toán học, hàm con đường tính được khái niệm là:

Một hàm L: R n → R m là tuyến tính nếu

(i) L (x + y) = L (x) + L (y)

(ii) L (αx) = αL (x)

với phần đa x, y ∈ R n , α ∈ R

Ví dụ: Chứng tỏ rằng hàm L: R 2 → R 3 cho bởiL ( x ) =⎡⎣⎢x1+ 4x23x1–x2x2⎤⎦⎥ là đường tính.

Giải pháp:

Với x, y ∈ R 2 bất kỳ , ta có

Đại số tuyến tính

Với x ∈ R 2 cùng α ∈ R bất kỳ , ta có

Do đó, L là 1 trong hàm tuyến tính.

Ma trận đại số con đường tính

Về khía cạnh toán học, quan hệ này có thể được quan niệm như sau.

A là một trong ma trận m × n, sau đó chúng ta nhận được một hàm con đường tính L: R n → R m bằng cách xác định

L (x) = Ax

hoặc là

Ax = B

Xem qua lấy ví dụ như được chuyển ra bên dưới để hiểu chi tiết về ánh xạ này.

Câu hỏi:

Một căn hộ chứa x túi với y hộp quả, mỗi túi chứa 2 quả táo bị cắn và 4 quả chuối và mỗi hộp tất cả 6 quả táo bị cắn và 8 trái chuối. Có tổng cộng 20 quả táo apple và 28 quả chuối vào phòng. Tìm cực hiếm của x với y.

Xem thêm: Cách Làm Siro Sâm Dứa Tươi Mát Tại Nhà, Cách Nấu Nước Sâm Dứa Tươi Mát Tại Nhà

Giải pháp :

Viết phương trình đôi khi để thông tin đã cho mà đk trên đổi thay đúng.

2x + 6y = 20

4x + 8y = 28

Ở đây, ví dụ giới thiệu ở trên cho thấy thêm hệ thống phương trình tuyến tính.

Bây giờ, viết phương trình trên dưới dạng đẳng thức giữa 2 vectơ cùng sử dụng các quy tắc, chúng ta nhận được

(2 x + 6 y4 x + 8 y) = (2028) x (24) +và(6số 8) = (2028)Chúng ta thể hiện các hàm bên dưới dạng một mảng số được gọi là ma trận.

Do đó, hàm (246số 8) được định nghĩa bởi

(246số 8) (xY) =x (24) +và(6số 8)

Đại số con đường tính số

Đại số tuyến tính số nói một cách khác là đại số đường tính ứng dụng. Đại số tuyến tính ứng dụng đề cập cho việc nghiên cứu cách các phép toán ma trận hoàn toàn có thể được áp dụng để tạo thành các thuật toán sản phẩm tính, giúp giải quyết và xử lý các vụ việc trong toán học liên tiếp với tác dụng và độ thiết yếu xác. Trong đại số tuyến tính số, nhiều phương pháp phân tung ma trận được áp dụng để tra cứu lời giải cho những bài toán đại số con đường tính phổ cập như về tối ưu hóa bình phương bé dại nhất, định vị giá trị Eigen cùng giải hệ phương trình con đường tính. Một số phương pháp phân tung ma trận vào đại số tuyến đường tính số bao hàm phân chảy Eigen, phân rã cực hiếm đơn, so sánh nhân tử QR, v.v.

Ứng dụng Đại số con đường tính

Ở đây, một số trong những ứng dụng của đại số đường tính được đưa ra như:

Xếp hạng trong luật Tìm kiếm – trong số những ứng dụng đặc biệt nhất của đại số tuyến đường tính là vào việc tạo nên Google. Thuật toán xếp hạng phức hợp nhất được tạo thành với sự hỗ trợ của đại số đường tính.Phân tích tín hiệu – Nó được sử dụng thoáng rộng trong vấn đề mã hóa, so sánh và làm việc các tín hiệu có thể là âm thanh, clip hoặc hình ảnh, v.v.Lập trình con đường tính – về tối ưu hóa là một ứng dụng quan trọng của đại số đường tính được sử dụng rộng rãi trong nghành lập trình đường tính.Mã sửa lỗi – Nó được thực hiện trong kim chỉ nan mã hóa. Nếu tài liệu được mã hóa bị can thiệp một chút ít và với việc trợ góp của đại số tuyến tính, nó sẽ được khôi phục. Một mã sửa lỗi đặc biệt quan trọng như vậy được điện thoại tư vấn là mã hammingDự đoán – dự kiến của một số đối tượng nên được tìm thấy bằng cách sử dụng các quy mô tuyến tính được phát triển bằng cách sử dụng đại số tuyến đường tính.Nhận dạng khuôn mặt- Một technology nhận dạng khuôn mặt tự động sử dụng biểu thức đại số tuyến tính được call là so với thành phần chính.Đồ họa- Một phần đặc biệt quan trọng của giao diện là chiếu cảnh 3d trên screen 2 chiều chỉ được xử lý vị các bản đồ tuyến đường tính được phân tích và lý giải bằng đại số đường tính.

Bài toán đại số tuyến tính

Các việc đại số tuyến tính bao gồm ma trận, ko gian, vectơ, định thức và hệ thống các khái niệm phương trình con đường tính. Bây giờ, chúng ta hãy luận bàn về bí quyết giải các bài toán đại số tuyến tính.

Ví dụ 1:

Tìm quý giá của x, y với z nhằm hệ phương trình đường tính vẫn cho.

2x + y – z = 8

-3x – y + 2z = -11

-2x + y + 2z = -3

Giải pháp:

Được,

2x + y – z = 8

-3x – y + 2z = -11

-2x + y + 2z = -3

Ma trận gồm dạng,

AX = B,

Đây , A =⎡⎣⎢2– 3– 21– 11– 122⎤⎦⎥ x =⎡⎣⎢xYvới⎤⎦⎥ B =⎡⎣⎢số 8– 11– 3⎤⎦⎥

Sau khi thực hiện thao tác làm việc hàng cơ bạn dạng và ma trận tăng cường, nó được sụt giảm dạng

A ⎡⎣⎢2– 3– 21– 11– 122số 8– 11– 3⎤⎦⎥

Bây giờ, dạng cấp độ rút gọn gàng của ma trận bên trên là,

A ⎡⎣⎢10001000123– 1⎤⎦⎥

Do đó, chiến thuật duy tốt nhất cho vấn đề này là,

x = 2

y = 3

z = -1

Ví dụ 2:

Tìm cực hiếm của x, mang đến rằng ∣∣∣3xx1∣∣∣=∣∣∣3421∣∣∣

Giải pháp:

Cho rằng: ∣∣∣3xx1∣∣∣=∣∣∣3421∣∣∣

Do đó, định thức trên có thể được coi là:

3 – x 2 = 3 – 8

3 – x 2 = -5

-x 2 = -5-3

-x 2 = -8,

Bây giờ, nhân cả nhì vế với -1, bọn họ nhận được

x 2 = 8

x = ± 2 √ 2

Do đó, cực hiếm của x là ± 2 √ 2.

Các vụ việc thực hành về Đại số tuyến đường tính

Giải cặp phương trình đường tính sau bằng phương pháp thay thế: 7x-15y = 2, x + 2y = 3.Giải phương trình 2x + 3y = 11 với 2x-4y = -24. Ngoài ra, hãy xác định giá trị của “m” cơ mà y = mx + 3.Giải những phương trình sau bằng phương pháp thay nỗ lực và phương thức khử: 3x + 4y = 10 cùng 2x – 2y = 2.