Hạng của ma trận là gì

Mời chúng ta cùng tham khảo ngôn từ bài giảng Bài 3 Hạng của ma trận sau đây để mày mò về định nghĩa hạn của ma trận, ma trận bậc thang, các phxay biến hóa sơ cấp trên loại.

Bạn đang xem: Hạng của ma trận là gì

1. Định nghĩa hạn của ma trận

2. Ma trận bậc thang

2.1 Định lý

2.2 Định nghĩa

3. Các phxay biến đổi sơ cấp cho bên trên dòng

3.1 Định nghĩa

3.2 Đưa ma trận về dạng bậc thang

3.3 Đưa ma trận bậc thang về dạng bậc thang thu gọn

4. Định lý

Cho A là một trong ma trận. Ma trận đã đạt được tự A bằng cách xóa đi một số chiếc với một vài cột được hotline là ma trận bé của A. Định thức của ma trận bé cấp cho k của A được call là định thức nhỏ cung cấp k của A.

Hạng của ma trận A là r nếu:

A tất cả một định thức bé cấp r không giống 0 với hồ hết định thức nhỏ cấp s (s > r) hồ hết bởi 0.

Ta thường xuyên cam kết hiệu của ma trận A là R(A)

Ví dụ: Cho ma trận(A = left( eginarrayl 1,,,,,1,,,,1\ 0,,,,1,,,,1\ 0,,,,0,,,1 endarray ight)). Tìm hạng của A

Vì(left| A ight| = 1 e 0)nê R(A)=3

Ví dụ: Cho ma trận(A = left( eginarrayl 1,,,,,2,,,,3\ 4,,,,5,,,,6\ 7,,,,8,,,9 endarray ight)). Tìm hạng của A

Vì(left| A ight| = 0,và,left| eginarrayl 1,,,,,2\ 4,,,,5 endarray ight| = - 3 e 0)bắt buộc R(A)=2

Một số hệ quả:

(eginarrayl R(A_m,x,n) le ,min left m,n ight\ R(A) = R(A^T)\ R(A_n,x,n) = n Leftrightarrow left| A_m,x,n ight| e 0 endarray)

Xét ma trận A. Ta có:

R(A) = hạng của hệ vectơ cái của A = hạng của hệ vectơ cột của A.

2. Ma trận bậc thang

2.1 Định lý.

Ví dụ: Xét ma trận(A = left( eginarrayl 2,,,,,,0,,,,,1,,,,,0\ 0,, - 3,,,,,0,,,,2\ 1,,,,,2,, - 3,,,,1\ 0,,,,,0,,,,,0,,,,,,,0 endarray ight))

Ta có:

Dòng thiết bị một là chiếc không đều đều bậc 1.

Dòng thứ 2 là dòng không bình bình bậc 2.

Dòng đồ vật 3 là dòng ko tầm thường bậc 1.

Dòng vật dụng 4 là dòng bình bình.

2.2 Định nghĩa.

Một ma trận A bao gồm dạng bậc thang nếu:

Ví dụ:(A = left( eginarrayl 2,,,,,,0,,,,,1,,,,,0\ 0,, - 3,,,,,0,,,,2\ 0,,,,,0,,,,,,0,,,,0 endarray ight))là 1 ma trận bậc thang

Một ma trận bậc thang thu gọn là một ma trận cầu thang tất cả thêm những tính chất:

Ví dụ:(A = left( eginarrayl 1,,,,,,0,,,,,3,,,,,0,,,,,4\ 0,,,,,,1,,,,,2,,,,0,, - 1\ 0,,,,,0,,,,,,0,,,,1,,,,,2 endarray ight))là mộtma trận lan can thu gọn

2.3 Hạng của ma trận bậc thang

Cho A là một trong những ma trận lan can. Khi kia, từ bỏ khái niệm hạng cùa ma trận, ta dễ dàng thấy: R(A) = số dòng không bình bình của ma trận A

Ví dụ: Xét(A = left( eginarrayl 1,,,,,,2,,,,,3,,,,,4\ 0,,,,,2,,,,,0,,,,,4\ 0,,,,,0,,,,,,0,,,,0 endarray ight)). Vì A có dạng lan can với bao gồm 2 cái ko đều đều bắt buộc R(A)=2.

3. Các phép đổi khác sơ cấp bên trên chiếc.

3.1 Định nghĩa.

Xem thêm: Sân Bay Đà Nẵng Ở Đâu Và Thông Tin Chi Tiết (Cập Nhật 2021), Cách Di Chuyển Từ Sân Bay Đến Trung Tâm

Các phép chuyển đổi tiếp sau đây trên ma trận được hotline là các phép biến hóa sơ cung cấp bên trên dòng

Dùng các phnghiền chuyển đổi sơ cung cấp trên cái, ta có thể gửi một ma trận vê dạng lan can xuất xắc dạng bậc thang thu gọn gàng.

3.2 Đưa ma trận về dạng cầu thang.

Ta có thuật tân oán đưa một ma trận về dạng lan can nhỏng sau :

Ví dụ Đưa ma trận tiếp sau đây về dạng bậc thang

(A = left( eginarrayl 1,,,,,2,,, - 3,,,0\ 2,,,4,,, - 2,,,2\ 3,,,6,,, - 4,,,3 endarray ight))

Giải

Ta có:

dạng bậc thang

3.3 Đưa ma trận bậc thang về dạng lan can thu gọn

Ta tất cả thuật toán gửi một ma trận bậc thang về dạng cầu thang thu gọn nhỏng sau:

Cho(A=(a_ mij )) là ma trận tất cả dạng cầu thang với các phần tử dẫn đầu lần lươt là(a_ m1j_1 ,a_ m2j_2,...,a_ mrj_r) .

Bước 1: Nhân dòng r với (frac1a_ mr mj_ mr) để sở hữu bộ phận dẫn đầu của dòng r là 1 trong những.

Cách 2 : Dùng phần tử (a_ mr mj_ mr=1) như là bộ phận trụ, chuyển những bộ phận thuộc cột và làm việc trên a về số 0 bằng phnghiền đổi mới đôi sơ cấp cho (d_i-a_ mr mj_ mrd_r).

Bước 3 : Lặp lại quá trình bên trên đối với các cái r-1, r-2,...,2.

Bước 4 : Nhân chiếc 1 với (frac1a_ m1 mj_ m1).

Để mang lại dạng lan can thu gọn, ta rất có thể vận dụng hai thuật toán nêu bên trên, đưa ma trận về dạng lan can rồi đem đến dạng cầu thang thu gọn. Ngoài ra, ta hoàn toàn có thể vận dụng thuật toán chuyển ma trận về dạng bậc thang bao gồm sửa đổi một chút:

Tại bước 3, nạm vày chỉ đưa các số không giống 0 đứng dưới và cùng cột cùng với phân tử đứng vị trí số 1 về số 0, thì ta đưa cả những số không giống 0 đứng trên và thuộc cột cùng với thành phần đứng vị trí số 1 về số 0.

Cuối cùng, lúc đã có được dạng lan can, ta phân tách những mẫu bình bình mang đến phần tử đứng vị trí số 1 của bọn chúng để đưa các phần tử đứng vị trí số 1 về tiên phong hàng đầu.

Ví dụ: Đưa ma trận sau đây về dạng cầu thang thu gọn

(A = left( eginarrayl 2,,,,,1,,,,,,5,,,,,,3\ 1,, - 4,,,,,2,,,,,3\ 3,,,,,,0,,,,,1,,,,,,2 endarray ight))

Giải

Ta có

dạng bậc than thu gọn.

4. Định lý.

Các phép biến hóa sơ cấp cho trên chiếc của một ma trận không làm cho thay đổi hạng của ma trận..

Ví dụ: Tìm hạng của ma trận(A = left( eginarrayl 1,,,,,2,,,,, - 3,,,,,,0\ 2,,,,4,,,,, - 2,,,,,,2\ 3,,,,6,,,,, - 4,,,,,,3 endarray ight))

Ta có:

Vì R(B) = 2 buộc phải R(A) = 2.

Ứng dụng:

Để đánh giá tính chủ quyền tuyến đường tính, nhờ vào đường tính của một hệ n vectơ, ta hoàn toàn có thể chuẩn bị những vectơ ấy thành những chiếc của một ma trận A, rồi tìm hạng của A. Nếu R(A) = n thì hệ đó là 1 trong hệ độc lập đường tính, trường hợp R(A) (leftlangle V ight angle ) vớiV = (1,-2,5,4), (2,-2,1,0), (3,4,0,2)

Giải: Ta lập ma trận

Suy ra: R(A) = 3, nên(dlặng leftlangle V ight angle =3)

Và một cửa hàng của (leftlangle V ight angle )là (1;-2;5;4),(0;2;-9;-8).(0;0;1;1) .

• Cách hiển thị file ẩn
• Dịch vụ làm thẻ căn cước công dân
• Thiềm thừ là gì
• Cách làm sạch lồng giặt